제곱근과 실수

제곱근

먼저 어떤 수 x를 제곱해서 a가 될 때, x를 a의 제곱근이라고 한다. 

아래 그림과 같이 2, -2를 제곱하면 4가 된다.

 

문제를 풀어보자면

1) 49의 제곱근 = 7, -7

2) 81의 제곱근 = 9,-9

3) 100의 제곱근 = 10, -10

4) 121의 제곱근 = 11, -11

 

제곱근을 다른 말로 근호 또는 루트라고 한다, 근데 3을 제곱하는 정수는 없기 때문에 3이 되는 수를 루트3 또는 -루트3라고 표현한다.

 

36의 제곱근과 루트36이 어떻게 다르냐면

36의 제곱근 = 6, -6 (양수, 음수 두가지)

제곱근 36 = 6 (양수만)

 

그 다음은 제곱근의 성질인데 a의 값이 양수일 때 노란색 부분에 대한 모든것이 성립된다.

 

A의 도형을 보면 2칸씩 대각선으로 이루어진 정사각형이다. A 도형 맨 오른편에 보면 3x3의 넓이에서 넓이가 1인 직각삼각형 4개의 넓이를 빼면 9 - 4 = 5이다. 정사각형의 넓이는 가로와 세로의 길이가 모두 같으므로 x의 길이는 루트5가 되겠다.

마찬가지로 3칸 대각선의 넓이도 4x4의 넓이에서 넓이가 1.5인 직각삼각형 4개의 넓이를 빼면 16 - 6 = 10 x의 길이는 루트10이 되겠다. 

길이로 보아도 루트10이 더 크기 때문에 두 개의 양수 a의 값과 b의 값을 비교하여 더 큰 부분은 루트a와 루트b를 비교했을 때의 더 큰 부분의 부등호가 같다. 

실수

실수에서 유리수와 무리수가 나뉘는데, 무리수의 값을 구하는 과정이다

1.4와 1.5의 값을 각각 제곱

1.41와 1.42의 값을 각각 제곱

1.414와 1.415의 값을 각각 제곱

이런식으로 계속 반복하면 루트2의 값이 순환하지 않는 무한소수이다.

 

실수는 유리수와 무리수로 나뉘고, 포함 관계를 표시하면 노란색에 표시 되어있는 오른쪽 그림과 같게 된다. 그리고 소수는 크게 유한소수와 무한소수로 나뉜다, 여기서 유한소수와 순환소수를 유리수, 순환하지 않는 무한소수를 무리수라고 한다.

마지막 줄에 무리수를 모두 찾으라고 하는데 (1), (6)번을 제외한 모든 수들은 다 유리수로 바꿀 수 있기 때문에 답은 (1) (6)이다.

 

다음은 무리수의 값을 수직선으로 표현하는 방법이다. 제일 중요한건 어떤 점에서 루트의 값이서 시작된 값인지를 알아야 대응하는 값을 구할 수가 있다. 이와같이 나타내어 보면 수직선 위에는 유리수와 무리수로 대응하는 점들로 모두 이루어져 있음을 알 수 있다.

 

문제와 풀이를 보면 Q와 P에 대응하는 점들이 각각 어떠한 값인지를 쉽게 구할 수가 있다. 먼저 한 변의 길이를 구하고 시작점이 어딘지를 본 후에, 선분OC와 선분 OQ, 선분OA와 선분OP의 길이가 모두 같음을 알고, Q의 대응점과 P의 대응점을 모두 구할 수가 있다.

 

큰 값에서 작은 값을 빼면 0보다 크고, 서로의 값이 같은 것을 빼면 값은 0이고, 작은값에서 큰 값을 빼면 0보다 작다. 하지만 이렇게 푸는 것보단 부등식을 비교할 때 좌식과 우식에서 서로 같은 값을 빼거나 더한값이 있다면, 그 값은 없다고 생각을 하고 남은 값을 서로 비교하여 어느값이 더 큰지를 비교하는게 빠르다.

 

수직선에 모든 유리수의 값을 표현하는 방법인데 마찬가지로 무리수도 유리수처럼 그림을 그려서 표현을 한다면 무수히 많은 무리수도 표현 할 수가 있다.

 

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