[DX11 물방울책] 챕터 2 - 행렬

1. 행렬의 정의

그래픽스에선 행렬은 주로 트랜스폼 (이동,회전,크기) 그리고 벡터 위치를 프레임간 옮기고자 할 때 쓰여진다.

m * n 행렬은 네모 모양의 m열 n행의 2차원 배열이다. 각 숫자를 원소라고 불린다.

A = 4*4, B=3*2,U=1*3,V=4*1

각 행을 벡터로 취급할 때도 있다

 

2. 행렬간 곱셈

A 행렬의 행 개수와 B 행렬의 열 개수가 일치해야 연산이 가능하다.

연산이 불가능하다

3.  벡터와 행렬간 곱셈

4. 선형 결합

벡터 행렬 곱셈간 결과 uA는 선형 결합과 똑같다고 한다.

 

5. 결합 법칙

A(B + C) = AB + AC 그리고 (A + B)C = AC + BC

6. 전치 행렬

행렬의 행과 열을 교환해서 구한다.

전치 행렬의 속성은 다음과 같다.

7. 단위 행렬

좌>우측으로 대각선으로 가는 원소들 제외하고 모든 원소가 0인 행렬을 칭한다.

8. 행렬식

행렬식(determinant)은 행렬을 대표하는 값으로 n x n (n은 2 이상)의 정방행렬 AA에 대해 다음과 같이 정의됩니다. detA11이란 AA에서 1행과 1열을 제외한 행렬의 행렬식을 의미합니다. 2 x 2 행렬의 요소값이 a,b,c,da,b,c,d라고 할 때 행렬식은 ad−bcad−bc이다.

 

아래는 공식이다.

2x2

 

3x3

4x4

예시

9. 역행렬

그와 곱한 결과가 단위 행렬인 행렬을 갖는 행렬이다. 

 

역행렬이 맞는지 확인

10. 코드

#include <iostream>
#include <d3d11.h>
#include <d3dx11.h>
#include <xnamath.h> // 연산 코드를 사용하기 위해선 필수

using namespace std;

void PrintMatrix(XMMATRIX& _mtx, string _name)
{
    cout << _name << " 행렬 순회" << endl;

    for (int y = 0; y < 4; y++)
    {
        for (int x = 0; x < 4; x++)
        {
            cout << _mtx(y, x) << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    cout << endl;
}

void PrintVector(XMVECTOR& _vec, string _name)
{
    cout << _name << " 벡터 순회" << endl;

    for (int i = 0; i < 4; i++)
        cout << _vec.m128_i32[i] << " ";

    cout << "\n\n";
}

int main()
{
    XMMATRIX mtxFrom = XMMatrixIdentity();
    XMMATRIX mtxTo = XMMatrixIdentity();
    XMVECTOR vector{ 0.2f,0.1f,0.3f,0.2f };

    PrintMatrix(mtxFrom, "첫번째 단위");

    // 첫번째 행렬 현재 위치 y : 2, x : 2
    mtxFrom._31 = 2.f; mtxFrom._32 = 2.f;

    // 두번째 행렬 현재 위치 y : 5, x : 5
    mtxTo._31 = 5.f; mtxTo._32 = 5.f;

    auto mtxMulti = XMMatrixMultiply(mtxFrom, mtxTo);
    PrintMatrix(mtxMulti, "곱셈");

    vector = XMVector3Transform(vector, mtxMulti);
    PrintVector(vector, "곱셈");

    XMVECTOR currentPos{ 0.5f, 1.f, 1.f };
    XMMATRIX mtxRot;

    XMMATRIX mtxTrans = XMMatrixTranslation(XMVectorGetX(currentPos), XMVectorGetY(currentPos), XMVectorGetZ(currentPos));
    PrintMatrix(mtxTrans, "이동");
    mtxRot = XMMatrixRotationAxis(currentPos, 10.f);
    PrintMatrix(mtxRot, "회전");
    
    auto mtxInversed = XMMatrixInverse(&vector, mtxMulti);
    PrintMatrix(mtxInversed, "역");

    auto mtxTransposed = XMMatrixTranspose(mtxMulti);
    PrintMatrix(mtxTransposed, "전치");

    auto mtxDet = XMMatrixDeterminant(mtxMulti);
    PrintVector(mtxDet, "행렬식");
    cout << endl;
}